Statistiques pour l'estimation
Reprendre les probabilités et la statistique à la base, mais toujours appliquées aux capteurs, au bruit et au filtrage : variable aléatoire vs réalisation, processus, bruit blanc, PSD, estimateurs, fusion optimale. 9 chapitres en français, illustrés par des figures calculées exactement, avec exercices dédiés à solutions repliables. Le compagnon théorique du cours Filtre de Kalman.
Pourquoi ce cours ? Le cours Kalman utilise les probabilités ; celui-ci les
construit. Il est né d'une question précise ⠫ comment passe-t-on d'une variable aléatoire
Ă une rĂ©alisation temporelle ? » â et cette question (les deux niveaux : ensemble vs
réalisation) en est le fil rouge, du chapitre 1 au chapitre 9. Chaque notion est illustrée sur les
problĂ©matiques du dĂ©pĂŽt : inclinomĂštres, gyromĂštres, camĂ©ra, cible, PLC. PrĂ©requis : quasi aucun â
de l'algÚbre de lycée et l'envie de comprendre.
Partie A â Le hasard, posĂ© proprement
- 01Le hasard et ses deux visagesexpĂ©rience alĂ©atoire, variable alĂ©atoire vs rĂ©alisation ; les deux niveaux (ensemble / rĂ©alisation) ; classer chaque grandeur d'un problĂšme capteur â le chapitre-clĂ© du cours
- 02DĂ©crire une variable : distribution, espĂ©rance, variancedensitĂ© (Ă intĂ©grer !), E linĂ©aire, ÏÂČ et ses unitĂ©s au carrĂ©, la rĂšgle 68/95/99,7 et le raisonnement en ±kÏ
- 03Plusieurs variables : jointe, conditionnelle, covariancemarginale, indĂ©pendance et additivitĂ© des variances (« en Pythagore »), corrĂ©lation, la loi conditionnelle â observer, c'est apprendre â et Bayes
- 04La gaussienne et le théorÚme central limitepourquoi la cloche est partout (TCL), quand elle ment (aberrants, saturation), stabilité par somme et transformation linéaire, deux nombres suffisent
Partie B â Le hasard dans le temps
- 05Processus aléatoires : le hasard dans le tempsune VA par instant, trajectoire = un tirage par instant ; stationnarité, ergodicité (mesurer une loi sur un seul enregistrement), autocorrélation, bruit blanc
- 06Accumuler le hasard : marche alĂ©atoire et dĂ©rivesommer du bruit blanc : Var = N·ÏÂČ, Ă©talement en âN ; la dĂ©rive des capteurs intĂ©grateurs, le °/âh des IMU, l'origine du Q de Kalman
- 07Le bruit en frĂ©quence : PSD et bande passantela variance ventilĂ©e par frĂ©quence (l'aire !), le /âHz des datasheets, Ï = d·âBW dĂ©montrĂ©, filtrer = dĂ©corrĂ©ler moins mais retarder, les couleurs du bruit
Partie C â Estimer et conclure
- 08Estimer Ă partir de donnĂ©es : les estimateursun estimateur est une VA (biais, variance) ; le Ï/âN de la moyenne, le Nâ1 de Bessel, combien d'Ă©chantillons pour un R à ±x %, le filtre de Kalman comme estimateur
- 09L'estimation optimale : conditionnelle, MMSE, fusionle MMSE et son vainqueur E[X|Z] ; la fusion pondĂ©rĂ©e en 1/ÏÂČ (les informations s'additionnent) ; la table de passage complĂšte vers le cours Kalman
Comment le lire ? Dans l'ordre â chaque chapitre s'appuie sur les prĂ©cĂ©dents, et le
fil « deux niveaux » se tend du premier au dernier. Les exercices sont faits pour ĂȘtre cherchĂ©s avant
d'ouvrir la solution ; beaucoup se font de tĂȘte ou sur un coin de feuille. Ă la fin, reprenez les
chapitres 4-7 du cours Kalman : ils devraient se lire comme des Ă©vidences.