Chapitre 07
Le bruit en fréquence : PSD et bande passante

Les datasheets ne donnent pas « la variance » : elles donnent des

µg/\sqrtHz

, des

°/s/\sqrtHz

— des densités spectrales. Ce chapitre explique ce que c'est, pourquoi cette unité étrange, et d'où sort la formule

σ = d\cdot\sqrtBW

utilisée au chapitre 16 du cours Kalman.

Objectifs du chapitre

Comprendre la densité spectrale de puissance (PSD) : la variance, ventilée par fréquence.
Voir pourquoi le bruit blanc a une PSD plate — et pourquoi il s'appelle « blanc ».
Décoder l'unité /√Hz et retrouver $σ = d\cdot\sqrtBW$ .
Comprendre l'effet du filtrage : réduire la bande = réduire la variance = corréler.

1. La variance, ventilée par fréquence

Un signal aléatoire stationnaire a une variance $σ²$ — un seul nombre. La densité spectrale de puissance (PSD) $S(f)$ raffine ce nombre : elle dit comment cette variance se répartit entre les fréquences. Les fluctuations lentes du signal contribuent aux basses fréquences, les fluctuations rapides aux hautes. La règle de conservation est la définition même :

σ² = ∫ S(f) df — la variance est l'aire sous la PSD

« Densité », encore une fois (comme au chapitre 2), signifie « quelque chose à intégrer » : $S(f)$ se mesure en unité² par Hz, et seules ses aires sont des variances. Le lien profond avec le chapitre 5 : la PSD est la transformée de Fourier de l'autocorrélation (théorème de Wiener-Khintchine). Mémoire longue ⇔ énergie concentrée en basses fréquences ; aucune mémoire ⇔ énergie partout.

2. Le bruit blanc : plat en fréquence

Justement : le bruit blanc du chapitre 5 (autocorrélation nulle hors 0) a une PSD constante — la même puissance à toutes les fréquences, comme la lumière blanche contient toutes les couleurs. D'où son nom. Et d'où un paradoxe apparent : une PSD plate intégrée jusqu'à l'infini donnerait une variance infinie ! Le bruit blanc idéal n'existe pas physiquement — tout capteur réel coupe quelque part. Ce qui existe : un bruit plat sur la bande utile, décrit par sa densité $d²$ (unité²/Hz), et la variance réelle dépend de la bande passante qu'on laisse passer.

Densité de puissance en fonction de la fréquence de 0 à 100 Hz. Une ligne horizontale sarcelle représente le bruit blanc : plat, d² constant. Une courbe violette représente le même bruit après un passe-bas de coupure fc = 20 Hz : elle part du même niveau puis décroît. L'aire sous la courbe violette est ombrée et annotée 'aire = VARIANCE σ²'. Une annotation donne σ² = ∫ d²(f) df ≈ d² × (π/2)·fc, d'où σ = d·√BW, la formule datasheet. — **Figure 7.1.** La variance est l'aire sous la PSD. Le bruit **blanc** (sarcelle) est plat : sa densité $d²$ est constante. Après un **passe-bas** de coupure $f_c$ (violet), seules les fréquences basses survivent : l'aire — donc la variance — se réduit à $σ² \approx d² \times (π/2)f_c$ . En prenant la racine : $σ = d\cdot\sqrtBW$ — la formule de conversion des datasheets, démontrée en une image.

3. Décoder le /√Hz

Tout s'éclaire : la datasheet spécifie la racine de la densité de puissance — $d = \sqrtS(f)$ — pour rester dans l'unité du signal. D'où le $µg/\sqrtHz$ : élevé au carré, il redonne des $µg²/Hz$ , une densité de puissance à intégrer. La chaîne complète :

d (unité/√Hz) → S = d² (unité²/Hz) → σ² = d²·BW (unité²) → σ = d·√BW (unité)

où $BW$ est la bande passante de bruit équivalente : la largeur du rectangle qui aurait la même aire que la vraie réponse du filtre. Pour un passe-bas du 1^er ordre de coupure $f_c$ , $BW = (π/2)\cdotf_c \approx 1,57\cdotf_c$ — le facteur « mystérieux » du chapitre 16 du cours Kalman, qui n'est que l'intégrale exacte de $1/(1+(f/f_c)²)$ .

Pourquoi la nature spécifie en densité. Le bruit de fond d'un capteur est (quasi) blanc : sa densité $d$ est une propriété du composant, indépendante de l'électronique de filtrage qu'on mettra derrière. La variance, elle, dépend du filtrage choisi par l'utilisateur. La datasheet donne donc l'invariant ( $d$ ) et vous laisse calculer votre $σ$ selon votre bande. Deux intégrateurs différents du même capteur ont le même $d$ et des $σ$ différents — et les deux datasheets sont justes.

4. Filtrer : moins de variance, plus de mémoire

La figure 7.1 montre le gain : filtrer élimine l'aire haute fréquence, la variance chute. Diviser la bande par 4 divise la variance par 4, donc $σ$ par 2. Mais le chapitre 5 a montré l'autre face : un bruit filtré est corrélé (il a de la mémoire — c'est le même énoncé, dit en temps au lieu de fréquence). D'où trois conséquences opérationnelles :

Latence : la mémoire du filtre est un retard (cours Kalman, ch. 11). Le compromis bruit ↔ retard est irréductible — on choisit sa bande, on ne gagne pas sur les deux tableaux.
Échantillons non indépendants : si la cadence d'échantillonnage dépasse la bande, les échantillons successifs se répètent partiellement ( $N_eff < N$ , chapitre 5, exercice 2) — sur-échantillonner un signal filtré n'apporte pas d'information neuve.
Le R du filtre de Kalman doit suivre : mesurez $σ$ avec le filtrage réellement en service. Un $R$ pris sur la datasheet « pleine bande » alors que le capteur filtre à 10 Hz est pessimiste — et réciproquement.

Un bruit filtré n'est plus blanc — or le filtre de Kalman suppose un bruit de mesure blanc à sa cadence. Tant que la bande du capteur reste large devant la cadence du filtre, l'approximation est bonne. Si le capteur filtre fort (bande ≪ cadence d'échantillonnage), les bruits de mesures successives sont corrélés : le filtre croit recevoir des informations fraîches qui n'en sont pas, et devient trop confiant — le même mécanisme que le « tenir la valeur » du chapitre 13 du cours Kalman, en version continue. Parades : abaisser la cadence de correction, gonfler $R$ , ou modéliser le filtre du capteur dans l'état (l'état $θ_m$ du chapitre 11).

5. Au-delà du blanc : les couleurs du bruit

La PSD donne un langage pour tous les bruits d'une datasheet IMU, chacun avec sa pente en log-log — c'est exactement ce que sépare la variance d'Allan (cours Kalman, ch. 16) :

Bruit	PSD	En temps	Signature Allan
blanc	plate	sans mémoire, stationnaire	pente −½
rose (1/f, flicker)	$\propto 1/f$	lentes ondulations du biais	plancher (instabilité de biais)
brun / marche aléatoire	$\propto 1/f²$	dérive √t (chapitre 6), non stationnaire	pente +½

Retenez la logique d'ensemble : plus l'énergie se concentre en basse fréquence, plus le bruit « ressemble à un biais » — et moins il se moyenne. Le blanc se moyenne en $1/\sqrtN$ (chapitre 8) ; le 1/f ne se moyenne presque pas (le plancher d'Allan) ; le 1/f² s'aggrave avec le temps. C'est pourquoi la frontière « bruit (dans R) vs biais (dans l'état) » du cours Kalman est en réalité une frontière spectrale : au-dessus de la bande du filtre → R ; en dessous → à modéliser.

Exercices

Exercice 1 — La chaîne complète datasheet → R

Un accéléromètre annonce $d = 120 µg/\sqrtHz$ ; votre chaîne filtre à $f_c = 40 Hz$ (1^er ordre). Calculez $σ$ en m/s², puis $R$ . Que devient $R$ si l'on resserre le filtre à 10 Hz, et que perd-on en échange ?

Voir la solution

BW = 1,57 × 40 = 62,8 Hz → σ = 120·10⁻⁶ × √62,8 ≈ 9,5·10⁻⁴ g ≈ 9,3·10⁻³ m/s²
R = σ² ≈ 8,7·10⁻⁵ (m/s²)²

À 10 Hz : bande divisée par 4 → $R$ divisé par 4 (≈ 2,2·10⁻⁵), $σ$ par 2. En échange : une constante de temps $τ = 1/(2πf_c) \approx 16 ms$ de retard (contre 4 ms), et des échantillons corrélés si l'on échantillonne au-delà de ~20 Hz. Le $R$ plus petit n'est un progrès que si la dynamique à suivre tient dans la bande restante.

Exercice 2 — L'unité en °/√h

Une datasheet IMU donne un angle random walk de $0,3 °/\sqrth$ . En vous appuyant sur le chapitre 6, dites ce que vaut l'écart-type de dérive d'angle après 15 min, 1 h, 4 h — et pourquoi l'unité contient un « /√h ».