Chapitre 06
Accumuler le hasard : marche aléatoire et dérive
Objectifs du chapitre
- Construire la marche aléatoire : une somme de bruits blancs.
- Démontrer la loi de croissance : Var = N·σ², étalement en √N.
- Relier ce résultat à la dérive des capteurs intégrateurs et au Q de Kalman.
- Comprendre pourquoi seule une mesure absolue arrête une dérive.
1. La construction : sommer des tirages
Partons d'un bruit blanc {Wₖ} (chapitre 5) de variance σ², et accumulons-le :
C'est la marche aléatoire : à chaque pas, on repart d'où l'on est et on ajoute un hasard neuf. Physiquement, c'est le schéma de toute intégration de bruit : un gyromètre dont on intègre la vitesse angulaire (et son bruit) pour obtenir un angle ; une prédiction de filtre qui s'empile cycle après cycle sans mesure pour la recaler ; un biais thermique qui se promène.
2. La loi de croissance : Var = N·σ²
Le calcul tient en trois lignes, avec les outils des chapitres 2 et 3 :
Var[Xₙ] = Var[W₁] + … + Var[Wₙ] (additivité : les Wₖ sont indépendants)
= N·σ² ⟹ écart-type = σ·√N
Tout le théorème est dans la deuxième ligne : l'additivité des variances pour des bruits indépendants. Aucun terme croisé ne vient s'y glisser, précisément parce que le bruit est blanc (décorrélé d'un pas à l'autre).
Le résultat mérite d'être médité : l'étalement croît, mais seulement en √N — pas en N. Les hasards successifs se compensent partiellement (il y a autant de pas positifs que négatifs en moyenne) ; ce qui reste est la racine du nombre de pas. Doubler la durée ne double pas la dérive : il la multiplie par √2 ≈ 1,4.
La marche aléatoire est non stationnaire : sa variance dépend du temps (N·σ²). Aucun « σ du signal » unique ne la décrit — demander « quel est l'écart-type de la dérive ? » n'a de sens qu'accompagné d'une durée. C'est le piège de la variance naïve du chapitre 16 du cours Kalman : sur une fenêtre longue, elle « mesure » une variance qui grossit avec la fenêtre, parce qu'elle mesure une marche aléatoire, pas un bruit stationnaire.
3. Applications directes à vos capteurs
3.1 La dérive du gyromètre
Un gyromètre mesure une vitesse angulaire avec un bruit blanc de densité σ_ω par échantillon. L'angle obtenu en intégrant est une marche aléatoire de pas σ_ω·dt : après N cycles (durée t = N·dt), l'erreur d'angle a pour écart-type
C'est le fameux angle random walk des datasheets IMU (donné en °/√h : l'unité elle-même contient la racine du temps !). Un gyromètre seul dérive inévitablement ; aucune qualité d'intégration numérique n'y changera rien — c'est une loi de probabilité, pas un défaut d'implémentation.
3.2 Le Q du filtre de Kalman
La prédiction du filtre, entre deux mesures, est une intégration du modèle plus son bruit : chaque cycle ajoute Q à la covariance — c'est exactement « Var[Xₙ] = N·σ² », écrit en matrices (P ← P + Q répété N fois pour une dynamique triviale). La dent de scie de l'incertitude entre deux fixes caméra (cours Kalman, ch. 13 et 15) est une enveloppe de marche aléatoire, et sa retombée à chaque mesure est la seule chose qui l'empêche de croître sans fin.
La règle d'or de la fusion de capteurs découle de ce chapitre : un capteur intégrateur (gyromètre, odométrie, modèle prédictif) est précis à court terme mais dérive en √t ; un capteur absolu (inclinomètre, caméra, GPS) est bruité à court terme mais ne dérive jamais. Ni l'un ni l'autre ne suffit ; leur fusion donne le meilleur des deux — précis à court terme et borné à long terme. Toute la Partie E du cours Kalman est une déclinaison de cette phrase.
4. Vers le continu : le processus de Wiener
En laissant le pas de temps tendre vers zéro (avec la bonne normalisation), la marche aléatoire devient le processus de Wiener (mouvement brownien) : la version temps-continu, de variance q̃·t où q̃ est une densité de variance par seconde. C'est lui qui se cache derrière la dérivation « CWNA » de la matrice Q (l'intégrale ∫ Φ L q̃ Lᵀ Φᵀ dτ) : intégrer un bruit blanc continu sur dt donne une variance q̃·dt sur la vitesse — la marche aléatoire de ce chapitre, écrite en continu. Le chapitre 7 donne l'autre moitié du vocabulaire continu : la densité spectrale.
Exercices
Exercice 1 — Chiffrer une dérive
Un gyromètre échantillonné à dt = 10 ms a un bruit blanc de σ_ω = 0,05 °/s par échantillon. Quel est l'écart-type de l'erreur d'angle intégrée après (a) 1 s, (b) 1 min, (c) 10 min ? À partir de quand dépasse-t-elle le bruit d'un inclinomètre absolu de σ = 0,4° ?
Voir la solution
Pas de la marche : σ_pas = σ_ω·dt = 5·10⁻⁴ ° ; N = t/dt = 100·t. Donc σ_angle = 5·10⁻⁴·√(100·t) = 5·10⁻³·√t (t en secondes) :
Elle atteint 0,4° quand √t = 0,4/0,005 = 80, soit t = 6400 s ≈ 1 h 45. Le gyromètre est donc largement meilleur que l'inclinomètre pendant de longues minutes — puis inexorablement pire. D'où la fusion : gyromètre pour la dynamique, inclinomètre pour recaler.
Exercice 2 — L'enveloppe et les deux niveaux
Sur la figure 6.1, une trajectoire particulière sort brièvement de l'enveloppe ±2σ√N vers N ≈ 250 puis y revient. Un collègue y voit une « force de rappel » qui ramène les marches vers zéro. Qu'en dites-vous ?
Voir la solution
Il n'y a aucune force de rappel : chaque pas est un tirage neuf, centré, ignorant tout de la position courante (le processus n'a pas de mémoire de niveau — seule la position s'accumule). L'enveloppe est un objet d'ensemble : elle dit que ~95 % des trajectoires sont dedans à chaque N, pas qu'une trajectoire donnée y est confinée ni rappelée. Une trajectoire peut s'écarter, revenir, repartir — par pur hasard. Confondre l'enveloppe (loi) avec un comportement individuel (réalisation) est exactement l'erreur de niveaux du chapitre 1 — la même qui fait croire qu'après cinq « pile », « face » devient plus probable.
Exercice 3 — Pourquoi Q borne le gain du filtre
Dans un filtre de Kalman en régime permanent, l'incertitude P se stabilise au lieu de croître en √N. Qu'est-ce qui, dans le cycle du filtre, « casse » la marche aléatoire ? Que se passerait-il si les mesures s'arrêtaient ?
Voir la solution
La correction. La prédiction seule est une marche aléatoire d'incertitude (P ← F P Fᵀ + Q : ça ne fait que croître) ; chaque mesure retranche de l'incertitude (P ← (I−KH)P). Le régime permanent est l'équilibre entre l'accumulation (ce chapitre) et le recalage. Si les mesures s'arrêtent, l'équilibre casse : P repart en croissance de marche aléatoire — c'est exactement la dent de scie qui gonfle pendant le « dropout » du chapitre 13 du cours Kalman, et la raison de surveiller P en exploitation.
Récapitulatif
- Marche aléatoire = bruit blanc accumulé : Xₙ = ΣWₖ. Modèle de toute intégration de bruit (gyromètre → angle, prédiction sans mesure, biais qui se promène).
- Loi de croissance : E = 0, Var = N·σ², étalement en σ√N (ou √t en continu — l'unité °/√h des datasheets). Preuve = additivité des variances, rien de plus.
- Non stationnaire : pas de « σ du signal » sans préciser la durée ; la variance naïve sur fenêtre longue mesure la fenêtre, pas le bruit.
- Chaque trajectoire est erratique (réalisation) ; l'enveloppe ±kσ√N est exacte (ensemble). Aucune force de rappel.
- Capteur intégrateur : précis court terme, dérive √t ; capteur absolu : bruité mais borné → la fusion prend le meilleur des deux. Le +Q de Kalman = cette marche, écrite en matrices ; la correction est ce qui l'arrête.