Filtre de Kalman — fondements théoriques
Comprendre d'où viennent les équations du filtre de Kalman, pas seulement les réciter. On part de l'estimation sous incertitude, on construit la boîte à outils probabiliste, on dérive le filtre trois fois par trois chemins différents, et on démonte ses propriétés : optimalité, innovation, régime permanent, cohérence, stabilité numérique. 10 chapitres en français, orientés théorie et illustrés par des figures calculées exactement.
Comment lire ce cours ? Les chapitres se suivent : chacun pose une brique
et l'appuie sur une figure ou une démonstration. Les encarts « 💡 Intuition »,
« ∑ Le calcul », « 🧮 Démonstration », « ⚠️ Piège » et « 📝 À retenir » balisent le texte,
et quelques exercices à solution repliable ferment les chapitres clés. Le prérequis
est léger : de l'algèbre linéaire (produits de matrices, transposée, inverse) et l'idée de
moyenne et de variance. Tout le reste est construit ici.
Ce cours part du versant théorique (Parties A à D) puis enchaîne sur des
chapitres appliqués (Partie E). L'implémentation temps réel générique
(code,
nalgebra, zéro allocation) est traitée au
chapitre 13 du cours Rust robotique.
D'autres applications — fusion de capteurs, EKF/UKF déroulés sur des cas concrets — viendront
s'ajouter à la Partie E.
Partie A — Estimer sous incertitude
- 01Le problème de l'estimation d'étatétat caché vs mesures bruitées, pourquoi fusionner, l'idée de suivre une distribution plutôt qu'une valeur
- 02Boîte à outils probabilistevariable aléatoire, espérance, variance, covariance, corrélation, propagation d'une covariance — le « sandwich » A·Σ·Aᵀ
- 03La loi gaussienne, reine du filtregaussienne multivariée, ellipses de covariance, stabilité par transformation linéaire, marginalisation, conditionnement, produit de deux gaussiennes
Partie B — L'inférence récursive
- 04Le filtrage bayésien récursifétat de Markov caché, croyance p(xₖ | z₁:ₖ), le cycle universel prédiction (Chapman-Kolmogorov) / correction (Bayes)
- 05Le modèle linéaire-gaussienéquation d'état et d'observation, les matrices F, B, Q, H, R, hypothèses (bruit blanc, gaussien, indépendant) et pourquoi elles rendent tout calculable
Partie C — Le cœur du filtre
- 06La prédiction : propager une gaussiennepropager la moyenne et la covariance à travers F, d'où sort P⁻ = F·P·Fᵀ + Q, prédire = perdre de la certitude
- 07La correction : le gain optimaldériver K trois fois : conditionnement gaussien, moindres carrés pondérés / MAP, et minimisation de la trace de P (BLUE)
- 08Gain, innovation et optimalitéle sens de K, l'innovation et son orthogonalité, l'estimateur MMSE, régimes limites, un filtre déroulé en figure
Partie D — Propriétés & vie du filtre
- 09Régime permanent, observabilité & Riccatila récurrence de la covariance, l'équation de Riccati, convergence vers un gain constant, ce que l'observabilité garantit (et ce qu'elle ne garantit pas)
- 10Cohérence, réglage & robustesse numériquerégler Q et R, tester la cohérence (innovation blanche, NIS/NEES), forme de Joseph et racine carrée, puis ouverture vers le non-linéaire (EKF/UKF)
Partie E — Applications : estimer une vitesse
- 11Vitesse depuis un inclinomètre : construire le modèlepourquoi pas la dérivée brute ; modèle 1er ordre (θ,ω) et 2e ordre (θ,ω,α) ; inclure le retard du capteur (dynamique & temps mort) ; injecter la commande B·u
- 12Le même filtre sur PLC : réglage, cohérence, structurerégler Q/R, vérifier la cohérence (NIS), stabilité numérique (Joseph, LREAL) ; et la structure la plus intéressante sur automate : l'observateur à gain constant (α-β) et pourquoi
- 13Fusion multi-fréquences : capteurs à cadences différentesprédire toujours / corriger si dispo ; ni ré-échantillonner ni « tenir » ; mises à jour scalaires séquentielles ; la covariance qui « respire » ; dt variable, mesures en retard, gating ; structure PLC à gain périodique
- 14EKF : suivre une cible avec inclinomètres + caméramesure caméra non-linéaire (atan + tilt) ; état [px,py,vx,vy,θ,φ] ; jacobienne et linéarisation ; innovation exacte vs covariance jacobienne ; observabilité (seule la caméra voit la cible) ; pièges EKF, ouverture UKF
- 15Caméra lente + cinématique robot : choisir le repère d'étateye-in-hand, cible lente, sortie chaque cycle ; pourquoi estimer en repère base (KF linéaire, Q minuscule) ; CD/Jacobien en transformation déterministe ; déprojection, buffer horodaté, latence ; le terme de repère tournant −ω×p_rel
- 16Estimer la variance d'un capteur (R) : datasheet & mesuresdécoder une fiche technique (densité ×√BW, RMS, crête-à-crête, résolution) ; mesurer au repos (variance de Bessel, Welford) ; le piège biais ≠ bruit ; bruit non-blanc, variance d'Allan, estimateur lag-1 ; matrice R multi-capteur
À la fin des fondements (A-D), vous saurez reconstruire les cinq équations du filtre de mémoire —
parce que vous les aurez dérivées, pas apprises par cœur — et diagnostiquer un filtre qui
diverge. La Partie E met tout cela au travail sur un cas d'automatisme concret.
Les probabilités vous freinent ? Le cours compagnon
🎲 Statistiques pour l'estimation reprend toute la
base — variable aléatoire vs réalisation, processus, bruit blanc, PSD, estimateurs — appliquée aux
mêmes problématiques, avec exercices dédiés. Idéal en préalable ou en parallèle des Parties A-B.