🎯 Filtre de Kalman · fondements théoriques

Chapitre 09
Régime permanent, observabilité & Riccati

Objectifs du chapitre

1. La covariance vit sa vie

Un fait surprenant, souvent négligé : la covariance P — donc le gain K — ne dépend pas des mesures. Relisez les équations : P⁻ = F·P·Fᵀ + Q, puis S = H·P⁻·Hᵀ + R, K = P⁻·Hᵀ·S⁻¹, P = (I−K·H)·P⁻. Aucune n'utilise z ni y. Seule l'estimation x dépend des mesures ; l'incertitude P, elle, ne dépend que des matrices du modèle (F, H, Q, R) et de son point de départ.

Conséquence pratique de premier ordre : on peut calculer toute la trajectoire de P et de K hors ligne, avant même de recevoir la moindre donnée. C'est ce qui permet, en régime permanent, de précalculer un gain constant et d'alléger énormément le filtre embarqué — on y revient au §4.

2. L'équation de Riccati

En enchaînant la prédiction et la correction, on peut écrire la récurrence de la covariance a posteriori en une seule ligne. En substituant P⁻ = F·P·Fᵀ + Q dans P = (I−KH)P⁻ avec K = P⁻Hᵀ(HP⁻Hᵀ+R)⁻¹, on obtient la récurrence de Riccati discrète :

P⁻ₖ₊₁ = F [ P⁻ₖ − P⁻ₖ Hᵀ (H P⁻ₖ Hᵀ + R)⁻¹ H P⁻ₖ ] Fᵀ + Q

C'est une application non linéaire (à cause de l'inverse) qui envoie P⁻ₖ sur P⁻ₖ₊₁. On n'a pas besoin de la manipuler à la main — mais il faut en retenir la dynamique : deux forces s'y opposent. La prédiction (F…Fᵀ + Q) gonfle l'incertitude ; la correction (le terme soustrait) la resserre. Quand ces deux forces s'équilibrent, la covariance cesse de bouger.

3. Le régime permanent

Pour un système invariant dans le temps (F, H, Q, R constants), la récurrence de Riccati converge, sous de bonnes conditions (§4), vers un point fixe P∞ : la covariance atteint une valeur stationnaire où l'apport de chaque mesure compense exactement la perte due à la prédiction. Ce point fixe est solution de l'équation algébrique de Riccati discrète (DARE), la version « P⁻ₖ₊₁ = P⁻ₖ = P∞ » de la récurrence ci-dessus.

Une fois P stationnaire, le gain l'est aussi : K devient une constante K∞. Le filtre se réduit alors à une récurrence linéaire à coefficients fixes :

x⁻ = F·x   puis   x = x⁻ + K∞·(z − H·x⁻)

C'est exactement ce qu'on observait sur la figure 8.2 : la bande ±1σ, large au départ, se resserre puis se stabilise. Le transitoire initial est la convergence de Riccati ; le plateau est le régime permanent.

Le régime permanent explique pourquoi l'initialisation de P₀ n'est pas critique : le filtre oublie son point de départ. Trop grand, trop petit — pourvu qu'il soit raisonnable, P converge vers le même P∞, dicté par le modèle et les bruits, pas par la condition initiale. Un mauvais P₀ ne coûte qu'un transitoire, pas une erreur permanente.

4. Observabilité : la condition pour que ça marche

La convergence et le bon comportement du filtre reposent sur deux propriétés structurelles du couple (F, H) et du bruit.

4.1 L'observabilité borne l'incertitude

Un système est observable si l'on peut reconstruire tout l'état à partir d'une séquence de mesures — même les composantes jamais mesurées directement. Formellement, la matrice d'observabilité [Hᵀ, (HF)ᵀ, (HF²)ᵀ, …]ᵀ doit être de rang plein (n). Concrètement : chaque composante cachée doit finir par influencer une mesure future à travers la dynamique.

Si le système est observable, la covariance P reste bornée : le filtre ne perd jamais complètement le fil, même sur les composantes qu'il ne mesure pas. Notre exemple canonique l'illustre : on ne mesure que la position, mais (F, H) est observable — la vitesse influence la position future — donc l'incertitude sur la vitesse reste finie et le filtre la reconstruit (fig. 8.2).

Une composante inobservable est une composante que rien ne vient jamais recaler : son incertitude croît sans borne (elle dérive comme en boucle ouverte). Le filtre ne « plante » pas — il continue de tourner en annonçant sereinement une variance qui explose. D'où l'importance de vérifier l'observabilité à la conception : un état mal choisi (trop riche pour les capteurs disponibles) contient des directions inobservables invisibles à l'exécution.

4.2 Le bruit de process empêche l'excès de confiance

Symétriquement, il faut que Q « excite » toutes les composantes (propriété de contrôlabilité du bruit). Sans elle, le filtre peut devenir trop sûr de lui : P tend vers zéro sur certaines directions, donc K aussi, et le filtre finit par ignorer les mesures — il s'endort sur son modèle et ne se recale plus. Un Q strictement positif maintient une incertitude minimale, donc un gain toujours vivant. C'est une raison théorique de ne jamais mettre Q = 0, au-delà du simple réalisme (chapitre 10).

Sous ces deux conditions — observabilité et bruit de process suffisant — le théorème garantit que la récurrence de Riccati converge vers un unique P∞ défini positif, et que le filtre en régime permanent est stable (les erreurs d'initialisation et les perturbations passées s'estompent).

5. Le filtre à gain constant (α-β)

Puisque le gain converge, pourquoi ne pas prendre K∞ dès le départ et s'en tenir là ? C'est précisément l'idée des filtres à gain fixe. Pour l'état position-vitesse, le gain constant a deux composantes traditionnellement notées α (sur la position) et β (sur la vitesse) : c'est le célèbre filtre α-β, un cas particulier du filtre de Kalman en régime permanent, très utilisé en radar et en poursuite parce qu'il ne demande aucune algèbre matricielle en ligne.

Le filtre à gain constant échange l'adaptabilité contre la simplicité. Il est aussi bon que Kalman une fois le régime établi, mais perd le beau transitoire (le K élevé du départ qui verrouille vite l'estimation) et ne s'adapte pas si les bruits changent. On l'emploie quand les ressources de calcul sont comptées et que le système est bien stationnaire — sinon, le Kalman complet reste préférable.

Exercices

Exercice 1 — Peut-on tout précalculer ?

On affirme au §1 que P et K ne dépendent pas des mesures. Dans quels cas cela cesse-t-il d'être vrai, en pratique ?

Voir la solution

Cela cesse dès que F, H, Q ou R dépendent des données ou du temps de façon imprévisible : un capteur dont le bruit R varie selon les conditions (GPS en canyon urbain), un pas de temps dt irrégulier, ou — cas majeur — un filtre non linéaire (EKF, chapitre 10) où F et H sont des jacobiennes évaluées à l'estimation courante, donc dépendantes des mesures via x. Dans tous ces cas, P et K redeviennent dynamiques et doivent être calculés en ligne.

Exercice 2 — Diagnostiquer une variance qui explose

Un collègue estime [position, vitesse, biais_capteur] mais ne mesure que la position, et constate que la variance du biais croît sans fin. Quel est le problème probable ?

Voir la solution

Le triplet (F, H) est vraisemblablement inobservable : avec une seule mesure de position, on ne peut pas distinguer une vraie position d'un biais de capteur constant qui la décale — les deux produisent la même lecture. Le biais est une direction inobservable, sa variance dérive. Remèdes : ajouter un capteur qui « voit » le biais autrement, exciter le système pour le rendre observable, ou renoncer à estimer le biais si rien ne l'identifie. C'est un bug de conception du modèle, pas de code.

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