Chapitre 12 · Application
Le même filtre sur PLC : réglage, cohérence, structure

1. Régler R, puis Q

Les deux covariances ne se règlent pas de la même façon (chapitre 10), et l'ordre compte.

R = σθ² d'abord, parce qu'il est mesurable. On fige le capteur, on enregistre quelques milliers de points, on calcule la variance. Un inclinomètre annoncé à 0,4° de bruit RMS donne R ≈ 0,16 deg². C'est une donnée du capteur, pas un curseur.

σα (donc Q) ensuite, comme unique curseur. On part de la physique (exercice 1 du chapitre 11) puis on affine avec la règle du chapitre 10 :

• Petit σα : on croit le modèle → sortie très lisse mais lente à réagir (traîne aux vraies variations de vitesse).
• Grand σα : on se méfie du modèle → filtre réactif mais qui laisse repasser du bruit.

Le bon σα n'est pas deviné : il est vérifié. C'est l'objet de la section suivante.

2. Vérifier la cohérence

Un filtre embarqué qui « a l'air de marcher » n'est pas une preuve. Le critère rigoureux est la cohérence : l'incertitude que le filtre annonce (S) doit correspondre à l'erreur qu'il commet réellement. On le teste sans vérité terrain, en ligne, grâce à la NIS (chapitre 10) — calculée ici sur la mesure d'angle scalaire :

Pour un filtre cohérent, la NIS suit une loi du χ² à 1 degré de liberté (mesure scalaire), de moyenne 1. On en trace la moyenne glissante et on vérifie qu'elle reste dans la bande de confiance à 95 %.

3. Stabilité numérique sur automate

Un filtre qui tourne des semaines sans redémarrage doit résister aux arrondis. Les parades du chapitre 10, déclinées pour un PLC :

• Tout en LREAL (double précision). Les REAL (32 bits) sont proscrits pour les covariances : les produits F·P·Fᵀ perdent trop de chiffres significatifs et P dérive.
• Forme de Joseph pour la mise à jour de P : une somme de termes positifs, symétrique définie positive par construction, là où la forme courte (I−KH)P⁻ peut devenir négative par arrondi.
• Resymétrisation : forcer P ← (P + Pᵀ)/2 à chaque pas coûte quelques opérations et supprime la dérive d'asymétrie.
• Mises à jour scalaires séquentielles : si plusieurs capteurs, traiter chaque mesure l'une après l'autre (bruits indépendants ⇒ R diagonale). Chaque correction n'inverse qu'un scalaire (S) — jamais de matrice à inverser sur le PLC.
• dt fixe et garde-fous : le pas vient de l'OB cyclique, il est constant. Sauter la correction si la mesure manque (et laisser P croître), plutôt que de corriger avec une valeur périmée.

// SCL — mise à jour de Joseph pour le 2×2 (robustesse longue durée).
// P = M·P⁻·Mᵀ + K·R·Kᵀ , avec M = (I - K·H) et H = [1 0].
// D'où M = [[1-k0, 0], [-k1, 1]] ; p**_p = P⁻ issu de la prédiction.
m00 := 1.0 - k0;  m01 := 0.0;
m10 := -k1;       m11 := 1.0;
// T = M·P⁻
t00 := m00*p00_p + m01*p10_p;   t01 := m00*p01_p + m01*p11_p;
t10 := m10*p00_p + m11*p10_p;   t11 := m10*p01_p + m11*p11_p;
// P = T·Mᵀ + K·R·Kᵀ  (R scalaire)
#P00 := t00*m00 + t01*m01 + k0*#R*k0;
#P01 := t00*m10 + t01*m11 + k0*#R*k1;
#P10 := t10*m00 + t11*m01 + k1*#R*k0;
#P11 := t10*m10 + t11*m11 + k1*#R*k1;
// resymétrisation défensive
#P01 := 0.5*(#P01 + #P10);   #P10 := #P01;

4. La structure la plus intéressante pour PLC

Voici le cœur de ce chapitre. Faut-il implémenter le filtre complet — prédiction et correction de P, gain recalculé à chaque cycle — ou existe-t-il mieux adapté à un automate ? La réponse tient à une observation faite au chapitre 9 : sur un PLC, les conditions du régime permanent sont réunies presque idéalement.

4.1 Pourquoi le régime permanent s'impose sur PLC

• L'OB cyclique tourne à période fixe : dt est constant, donc F et Q aussi. Le système est exactement invariant dans le temps (LTI) — l'hypothèse même du régime permanent.
• R est fixe (capteur donné), Q est figé une fois réglé.
• Donc (chapitre 9) P et le gain convergent vers des constantes P∞, K∞. Or P et K ne dépendent pas des mesures : on peut les calculer entièrement hors ligne.

L'idée décisive : résoudre l'équation de Riccati une seule fois, sur un PC (Python, quelques lignes), pour obtenir le gain constant K∞ ; puis n'implémenter sur le PLC qu'un observateur à gain constant — la prédiction et la correction de l'état, avec un gain figé. Plus de P, plus de Riccati, plus d'inversion en ligne.

4.2 C'est le filtre α-β

Cet observateur à gain constant sur l'état [θ, ω] porte un nom historique : le filtre α-β. Ses deux gains constants α (sur l'angle) et β (sur la vitesse) sont le gain de Kalman en régime permanent. La récurrence par cycle se réduit à :

L'ordre 2 [θ, ω, α] donne de la même façon le filtre α-β-γ, avec un troisième gain constant sur l'accélération. Une relation de conception classique (Benedict-Bordner) lie les deux gains, β = α² / (2 − α), ce qui ramène le réglage à un seul curseur α ∈ (0,1) ; les gains strictement Kalman-optimaux, eux, sortent de la résolution de la Riccati à partir de Q et R.

// SCL — observateur à gain constant (α-β), 1er ordre + commande.
// alpha, beta, dt : constantes ; état #th, #om en statique du FB.
th_p := #th + #om*#dt + 0.5*#u*#dt*#dt;   // prédiction angle (avec commande)
om_p := #om + #u*#dt;                     // prédiction vitesse
y    := #z - th_p;                        // innovation (scalaire)
#th  := th_p + #alpha * y;
#om  := om_p + (#beta / #dt) * y;         // ← vitesse estimée
#omEstime := #om;                         // sortie vers la régulation

Comptez les opérations : une poignée de multiplications-additions, zéro inversion, zéro matrice propagée. Le coût par cycle est constant et dérisoire — idéal pour un OB rapide à échéance dure.

4.3 Quand garder le filtre complet

L'observateur à gain constant suppose le régime permanent établi et les conditions figées. On revient au filtre complet (gain recalculé) uniquement si l'une de ces conditions tombe :

• Pas de temps variable : échantillonnage événementiel, gigue importante, mesures asynchrones → F/Q changent, le gain doit s'adapter.
• Mesures manquantes / intermittentes : capteur qui décroche, réseau qui perd des trames → il faut sauter des corrections et laisser P croître, ce que le gain constant ne sait pas faire.
• Rejet d'aberrants (gating) : filtrer les mesures suspectes par un seuil sur la NIS exige la valeur vivante de S, donc de P.
• Transitoire critique : si la convergence initiale doit être très rapide, le fort gain de départ du filtre complet verrouille plus vite l'estimation (on peut aussi simplement préinitialiser l'observateur constant proche de la vérité).
• R variable : bruit capteur qui change (température, régime) → le gain optimal change avec lui.

Exercices

Récapitulatif