Chapitre 04
Le filtrage bayésien récursif

1. La croyance : tout ce qu'on sait, en une loi

Reprenons le fil du chapitre 1 : on suit une distribution, pas une valeur. À l'instant k, après avoir encaissé les mesures z₁, z₂, …, zₖ (noté z₁:ₖ), tout ce que le filtre « sait » de l'état tient dans une seule loi de probabilité, la croyance (ou belief) :

C'est la loi de l'état courant conditionnée à tout l'historique des mesures. Le but du filtrage est de maintenir cette loi à jour, mesure après mesure, sans jamais rejouer tout l'historique. On veut passer de bel(xₖ₋₁) à bel(xₖ) en n'utilisant que la croyance précédente et la nouvelle mesure zₖ. C'est ça, être récursif — et c'est ce qui rend le calcul faisable à coût constant, indéfiniment.

2. Les deux hypothèses qui rendent la récursion possible

Cette compression ne va pas de soi. Elle repose sur deux hypothèses de structure sur le système — valables bien au-delà du cas gaussien.

2.1 L'état est markovien

Le futur ne dépend du passé qu'à travers le présent. Formellement, sachant l'état xₖ₋₁, l'état xₖ ne dépend plus de ce qui s'est passé avant :

C'est la définition même d'un état : un résumé suffisant du passé. On appelle p(xₖ | xₖ₋₁) le modèle de transition (ou de mouvement). Si votre « état » ne vérifie pas Markov, c'est qu'il est incomplet — il manque une variable (souvent une dérivée, comme la vitesse) qu'il faudrait y ajouter.

2.2 Les mesures sont conditionnellement indépendantes

Sachant l'état courant xₖ, la mesure zₖ ne dépend de rien d'autre : ni des états passés, ni des mesures passées.

On appelle p(zₖ | xₖ) le modèle de mesure (ou de vraisemblance) : la probabilité d'observer zₖ si l'état vaut xₖ. Le bruit du capteur est supposé frais à chaque instant, sans mémoire d'un pas à l'autre.

3. Le cycle en deux temps

Passer de bel(xₖ₋₁) à bel(xₖ) se fait en deux mouvements complémentaires : d'abord avancer dans le temps (prédiction), puis intégrer la nouvelle mesure (correction).

3.1 Prédiction — l'équation de Chapman-Kolmogorov

Avant de voir zₖ, on fait vieillir la croyance d'un pas à travers le modèle de transition. On veut p(xₖ | z₁:ₖ₋₁), la croyance prédite (l'a priori). On l'obtient en sommant sur toutes les provenances possibles xₖ₋₁, pondérées par leur croyance :

Cette intégrale est l'équation de Chapman-Kolmogorov. En mots : « la probabilité d'arriver en xₖ est la somme, sur tous les points de départ possibles, de la probabilité d'y avoir été fois celle d'en venir ». C'est une convolution de la croyance par la dynamique. Elle étale la croyance : on additionne des incertitudes, donc on en sait moins qu'avant.

3.2 Correction — la règle de Bayes

La mesure zₖ arrive. On met à jour l'a priori par la règle de Bayes :

Lisons chaque terme :

• p(xₖ | z₁:ₖ₋₁) — l'a priori, ce qu'on croyait avant la mesure (sortie de la prédiction) ;
• p(zₖ | xₖ) — la vraisemblance, à quel point chaque valeur d'état explique la mesure observée ;
• le dénominateur — une simple constante de normalisation (l'évidence), qui ne dépend pas de xₖ et garantit une aire de 1 ;
• p(xₖ | z₁:ₖ) — l'a posteriori, la nouvelle croyance, prête à servir de point de départ au cycle suivant.

La correction resserre la croyance : multiplier l'a priori par la vraisemblance ne peut que concentrer la masse là où les deux s'accordent. C'est le pendant exact de la respiration décrite au chapitre 1 : la prédiction gonfle, la correction resserre.

4. Pourquoi le cas général est intraitable — et Kalman non

Ce cycle prédiction/correction est exact et universel : il vaut pour n'importe quels modèles de transition et de mesure. Mais dans le cas général, il est incalculable en pratique. L'intégrale de Chapman-Kolmogorov n'a pas de forme fermée, et l'a posteriori peut prendre une forme arbitrairement compliquée (multi-bosses, asymétrique) qu'aucun petit jeu de paramètres ne résume. On se rabat alors sur des approximations : grille de points, particules (filtre particulaire), ou linéarisation.

Le miracle du cas linéaire-gaussien, c'est que les deux étapes restent dans la famille gaussienne (grâce aux clôtures du chapitre 3) :

• La prédiction est une transformation linéaire d'une gaussienne + un bruit gaussien → gaussienne (clôture linéaire + additivité).
• La correction est un produit gaussien × gaussien, renormalisé → gaussienne (clôture par conditionnement).

Donc la croyance reste gaussienne à tout instant, entièrement décrite par (xₖ, Pₖ). Les intégrales et la normalisation se réduisent à de l'algèbre matricielle sur ces deux objets. Le filtre de Kalman est le filtre bayésien récursif, spécialisé au cas où l'on peut tout faire à la main. Il ne reste qu'à écrire ce modèle linéaire-gaussien : c'est le chapitre suivant.

Récapitulatif