Chapitre 05
Step 1 — la solution temps-optimale

Objectifs du chapitre

Comprendre ce que calcule le Step 1 : la trajectoire de durée minimale pour un axe.
Voir comment les durées de phase inconnues se ramènent à une équation polynomiale.
Saisir pourquoi la résolution en forme fermée (Cardano, Ferrari) est décisive pour le temps réel.
Découvrir le Block et ses intervalles bloqués, indispensables à la synchronisation multi-axes.

1. Ce que calcule le Step 1

Le Step 1 traite un seul axe à la fois. Son objectif est net : trouver la trajectoire qui atteint la cible $(p_f, v_f, a_f)$ depuis l'état courant $(p₀, v₀, a₀)$ dans la durée minimale $t_min$ , tout en respectant les bornes $vₘₐₓ$ , $aₘₐₓ$ et $jₘₐₓ$ . C'est le sens de « temps-optimale » : aucune trajectoire admissible ne va plus vite.

💡 Intuition. Chaque axe court d'abord « sa » course la plus rapide, sans se soucier des autres. Le Step 1 répond à la question « en combien de temps, au mieux, cet axe peut-il arriver ? ». La coordination entre axes viendra ensuite (chapitre 7) ; ici, on cherche le record de vitesse individuel.

2. Des durées de phase à une équation polynomiale

On sait déjà (chapitres 3 et 4) que la trajectoire est un profil à sept segments, décrit par une famille et une direction. Ce qui reste inconnu, ce sont les durées de phase $t₁ \dots t₇$ . Pour chaque candidat (famille × direction), la continuité entre segments et les conditions à la cible (position, vitesse et accélération finales imposées) fournissent juste assez d'équations pour fixer ces durées.

En reportant les intégrations à jerk constant dans ces conditions, le système se réduit à une équation polynomiale en une durée inconnue — le plus souvent une cubique ou une quartique, selon la famille.

∑ Le calcul. Prenons le cas le plus simple : un profil « NONE » rest-to-rest (départ et arrivée à l'arrêt), où l'accélération ne fait qu'un aller-retour triangulaire — le jerk seul sculpte le mouvement, sans plateau d'accélération ni de vitesse. Chaque phase de jerk dure $t_j$ , avec $j = \pmjₘₐₓ$ . Sur une phase à jerk constant partant de l'arrêt :

a(t_j) = jₘₐₓ·t_j · v(t_j) = ½·jₘₐₓ·t_j² · p(t_j) = ⅙·jₘₐₓ·t_j³

Par symétrie du triangle d'accélération (4 phases de jerk égales pour repartir et revenir à $a = 0$ et $v = 0$ ), le déplacement total s'écrit

Δp = jₘₐₓ·t_j³

Isoler $t_j$ revient donc à résoudre une équation cubique en $t_j$ : $t_j = (Δp / jₘₐₓ)^{1/3}$ . Voilà d'où sort le polynôme — et dès que $v₀$ , $a₀$ ou un plateau entrent en jeu, il monte au degré 4.

3. La forme fermée : Cardano et Ferrari

Ces polynômes, Ruckig ne les résout pas par itération. Il applique les formules exactes : méthode de Cardano pour les cubiques, méthode de Ferrari pour les quartiques. Ces méthodes donnent toutes les racines en un nombre borné d'opérations arithmétiques — quelques racines carrées et cubiques, pas de boucle.

⏱️ Temps de cycle. Une résolution itérative (Newton-Raphson, dichotomie) converge en un nombre de pas variable selon le point de départ et la tolérance : son pire temps d'exécution (WCET) est difficile à garantir. La forme fermée, elle, coûte toujours le même nombre d'opérations : le WCET est connu d'avance. Sur un automate qui doit boucler à chaque cycle, c'est cette prévisibilité qui rend l'algorithme utilisable.

4. Sélectionner le meilleur candidat

Le Step 1 évalue toutes les combinaisons famille × direction. Chaque candidat livre un jeu de durées $t₁ \dots t₇$ . On écarte aussitôt les candidats infaisables : durée négative, ou profil qui violerait une borne ( $vₘₐₓ$ , $aₘₐₓ$ ). Parmi les candidats faisables restants, on retient celui de durée totale la plus courte : c'est lui qui définit $t_min$ .

⚠️ Piège. « Faisable » ne se décide pas à l'œil. Un candidat peut donner des durées positives et sembler valide, tout en dépassant une limite en cours de route. C'est pourquoi chaque profil retenu est re-vérifié par intégration avant d'être accepté (voir l'encart ruckig-scl).

5. Le « Block » et les intervalles bloqués

Le Step 1 ne produit pas seulement $t_min$ . Il renvoie un Block : une description de toutes les durées réalisables pour cet axe. Et c'est là qu'apparaît un fait contre-intuitif : au-delà de $t_min$ , toutes les durées ne sont pas atteignables. Il existe des intervalles bloqués — des plages de durées pour lesquelles aucun profil valide n'existe.

Axe des durées possibles t_f : une zone impossible avant t_min, le marqueur t_min, des régions réalisables en vert, et un intervalle bloqué en rouge où aucun profil valide n'existe — **Figure 5.1.** L'axe des durées finales $t_f$ pour un axe. À gauche de $t_min$ , la zone est **impossible** (on ne peut pas aller plus vite que l'optimum). À partir de $t_min$ , les durées sont **réalisables** (vert) — sauf dans un **intervalle bloqué** (rouge) où aucun profil admissible ne recolle l'état initial à la cible. Le Block est précisément cette carte : $t_min$ + la liste des trous.

Pourquoi ces trous ? Parce que ralentir un profil n'est pas continu : passer d'un profil à un autre peut exiger de changer de famille, et entre les deux, certaines durées ne correspondent à aucune solution respectant les bornes. Cette information est cruciale pour la suite : lors de la synchronisation multi-axes (chapitre 7), Ruckig doit choisir une durée commune à tous les axes. Cette durée commune devra éviter les intervalles bloqués de chaque axe — sans quoi la trajectoire synchronisée serait tout simplement infaisable.

6. Les familles de repli « two-step »

Les trois familles principales couvrent l'immense majorité des cas. Mais certains états initiaux pathologiques — par exemple une accélération de départ déjà au-delà de ce qu'un profil standard peut absorber — les font toutes échouer. Ruckig dispose alors de familles de repli « two-step » (TwoStepNone, TwoStepAcc0, TwoStepVel, TwoStepAcc1Vel) qui décomposent le problème autrement et garantissent qu'une solution est toujours trouvée.

🔧 Dans ruckig-scl. Le Step 1 est réalisé par ComputeBlock1Axis, qui remplit un UDT typeBlock : la durée minimale $t_min$ et les éventuels intervalles bloqués. Les racines des équations de phase sont obtenues en forme fermée par SolveCubic (Cardano) et SolveQuartic (Ferrari) — coût déterministe, pas d'itération non bornée. Chaque profil candidat est validé par CheckProfile, qui le ré-intègre pour confirmer qu'il respecte les bornes et atteint bien la cible. Les familles TwoStep* servent de repli. L'implémentation est validée contre le vrai Ruckig à $\approx 1e-15$ (cas statique 1-DoF).

// SCL — principe du Step 1 pour un axe
ComputeBlock1Axis(input, block);   // -> typeBlock : t_min + intervalles bloqués
// en interne : pour chaque candidat famille × direction
//   racines via SolveCubic / SolveQuartic (forme fermée)
//   CheckProfile(profil) valide par intégration
//   on garde le profil valide de durée minimale

Récapitulatif

Le Step 1 calcule, pour un axe, la trajectoire de durée minimale $t_min$ respectant $vₘₐₓ, aₘₐₓ, jₘₐₓ$ .
Les durées de phase inconnues se ramènent à une équation polynomiale (cubique ou quartique) issue de la continuité et des conditions à la cible.
Cette équation est résolue en forme fermée (Cardano, Ferrari) : nombre d'opérations borné → WCET connu, compatible temps réel.
On écarte les candidats infaisables et on garde le plus court ; chaque profil retenu est vérifié par intégration.
Le résultat est un Block : $t_min$ + les intervalles bloqués, à éviter lors de la synchronisation multi-axes (chapitre 7).
Des familles de repli « two-step » couvrent les états initiaux pathologiques.

Chapitre 05Step 1 — la solution temps-optimale

Objectifs du chapitre

1. Ce que calcule le Step 1

2. Des durées de phase à une équation polynomiale

3. La forme fermée : Cardano et Ferrari

4. Sélectionner le meilleur candidat

5. Le « Block » et les intervalles bloqués

6. Les familles de repli « two-step »

Récapitulatif

Chapitre 05
Step 1 — la solution temps-optimale