📈 Ruckig · génération de trajectoire en ligne

Chapitre 02
Jerk, accélération, et le profil en S

Objectifs du chapitre

1. La chaîne des dérivées cinématiques

Un mouvement se décrit d'abord par sa position p(t). En dérivant, on obtient la vitesse, puis l'accélération, puis le jerk — chaque grandeur mesure la vitesse de variation de la précédente :

v = ṗ  ·  a = v̇ = p̈  ·  j = ȧ = ⃛p

Côté unités (en SI, pour un axe linéaire) : la position est en m, la vitesse en m/s, l'accélération en m/s² et le jerk en m/s³. Pour un axe rotatif, on remplace les mètres par des radians.

💡 Intuition. Le jerk, c'est l'« à-coup ». En voiture, l'accélération vous plaque au siège ; le jerk, c'est le moment où cette poussée change brutalement — la secousse ressentie quand le conducteur enfonce ou relâche d'un coup la pédale. Un mouvement doux, c'est un mouvement où le jerk reste borné.

2. Intégrer dans l'autre sens : jerk constant

Ruckig construit ses trajectoires en imposant un jerk constant sur chaque intervalle. C'est le choix qui simplifie tout : si j est constant sur un segment, alors l'accélération varie linéairement, la vitesse suit une parabole, et la position un polynôme cubique. On intègre simplement, une couche après l'autre.

∑ Le calcul. Sur un intervalle de durée t où le jerk j est constant, en partant de (p₀, v₀, a₀) :

a(t) = a₀ + j·t
v(t) = v₀ + a₀·t + ½·j·t²
p(t) = p₀ + v₀·t + ½·a₀·t² + ⅙·j·t³

Ces trois formules sont le moteur de calcul de toute la suite. Un profil complet n'est rien d'autre qu'une succession d'intervalles à jerk constant : on prend l'état final d'un segment comme état initial du suivant, et on recolle le tout.

3. Pourquoi limiter le jerk ?

Le profil classique en automatisme est le profil trapézoïdal en vitesse : on accélère à taux constant, on roule à vitesse constante, on décélère à taux constant. Élégant sur le papier — mais son accélération est un créneau : elle saute instantanément de 0 à aₘₐₓ, puis à 0, puis à −aₘₐₓ. Or un saut instantané d'accélération, c'est un jerk infini.

Comparaison entre profil trapézoïdal en vitesse (accélération en créneau, jerk infini) et profil jerk-limité (accélération trapézoïdale, vitesse en S)
Figure 2.1. À gauche, le profil trapézoïdal en vitesse : l'accélération est un créneau, ses transitions correspondent à des pics de jerk infinis. À droite, le profil jerk-limité : l'accélération monte et descend en rampe (trapèze), et la vitesse prend une forme en « S ». C'est le prix à payer — un peu plus de temps — pour un mouvement sans à-coup.

Dans la réalité, aucun moteur ne peut délivrer un jerk infini : la commande est écrêtée par les drives, et l'énergie de ces transitions brutales part dans la structure. Concrètement, un jerk non borné provoque :

⚠️ Piège. Limiter le jerk ne consiste pas à « adoucir » a posteriori une trajectoire trapézoïdale avec un filtre. Un filtre déforme la trajectoire et ajoute du retard, sans garantir les bornes. Ruckig, lui, construit d'emblée un profil dont le jerk est borné par conception.

4. La commande bang-bang du jerk

Comment aller d'un point à un autre le plus vite possible, tout en respectant des bornes sur la vitesse, l'accélération et le jerk ? La théorie de la commande optimale (temps minimal sous contraintes) donne une réponse remarquablement simple : la commande optimale sature. Le jerk ne prend que trois valeurs :

j(t) ∈ { +jₘₐₓ,  0,  −jₘₐₓ }

C'est une commande « tout ou rien » (bang-bang) : on pousse le jerk à fond dans un sens, on le coupe, on le pousse à fond dans l'autre. Sans entrer dans le principe du maximum de Pontryagin, retenez l'idée : pour aller vite, on utilise à chaque instant toute la marge disponible sur la grandeur la moins dérivée qui n'est pas encore saturée.

5. Le profil en S à 7 segments

Enchaîner ces phases de jerk donne le profil emblématique de Ruckig : sept segments. La figure 2.2 empile les quatre grandeurs, du jerk (dérivée la plus haute) à la position.

Quatre panneaux empilés — jerk, accélération, vitesse, position — d'un profil complet à 7 phases en S
Figure 2.2. Le profil en S complet à 7 segments. De haut en bas : le jerk (rouge) en créneaux ±jₘₐₓ/0, l'accélération (orange) trapézoïdale, la vitesse (vert) en « S », et la position (bleu) parfaitement lisse. Chaque changement de niveau du jerk marque une frontière de segment.

Lecture des courbes, de haut en bas — c'est un jeu d'emboîtement :

📝 À retenir. Seul le jerk est discontinu ; l'accélération, la vitesse et la position sont continues. La position est même de classe C² (continue jusqu'à sa dérivée seconde, l'accélération). C'est exactement ce qui rend le mouvement doux pour la mécanique.

🔧 Dans ruckig-scl. L'intégration des états d'un profil est réalisée par la FC IntegrateProfileStates : à partir des durées et du jerk de chaque segment, plus l'état initial (p₀, v₀, a₀), elle remplit les valeurs d'accélération, de vitesse et de position segment par segment — en appliquant exactement les trois formules de la section 2. Tout est calculé en LREAL (l'équivalent du double C++), pour préserver la précision sur les cumuls. 

// SCL — principe de l'intégration segment par segment
FOR i := 0 TO 6 DO
    a := a + j[i] * t[i];
    v := v + a0 * t[i] + 0.5 * j[i] * t[i] * t[i];
    // … idem pour p, puis état final = état initial du segment suivant
END_FOR;

Récapitulatif