Chapitre 07
Calibration robotique

1. Répétabilité n'est pas exactitude

Un robot industriel est nativement très répétable : envoyez-le cent fois à la même consigne articulaire, il revient à la même pose physique à ≈ 0,02–0,1 mm près. C'est ce que garantit sa mécanique de qualité et ses codeurs. Mais lui demander d'atteindre une pose cartésienne calculée sur le papier — via la cinématique inverse à partir de la table DH du constructeur — révèle une tout autre réalité : l'exactitude absolue est souvent médiocre, de l'ordre de ≈ 0,5–2 mm, parfois pire.

La cause est simple : le modèle géométrique embarqué utilise les paramètres nominaux (les cotes du plan), alors que le robot posé devant vous a des paramètres réels légèrement différents. Les sources d'écart s'accumulent : tolérances de fabrication (un segment long de 400,00 mm au plan mesure 400,12 mm), assemblage (axes pas exactement parallèles ou perpendiculaires), usure, flexion sous la gravité, et dilatation thermique. Chaque écart, propagé le long de la chaîne cinématique, se traduit à l'effecteur par une erreur de pose amplifiée par les bras de levier.

La calibration consiste à identifier les paramètres réels du robot à partir de mesures, puis à corriger le modèle. On rehausse ainsi l'exactitude absolue jusqu'au niveau de la répétabilité (typiquement < 0,2 mm après calibration cinématique). C'est indispensable dès qu'on veut :

• de la programmation hors-ligne (offline programming) : générer les trajectoires depuis un modèle CAO et les jouer sans retouche manuelle ;
• l'interchangeabilité : remplacer un robot par un autre du même modèle sans reprogrammer les points ;
• des tâches exigeantes en position absolue : perçage, mesure, collage, assemblage guidé CAO.

2. Trois niveaux de calibration

La littérature classe la calibration en trois niveaux emboîtés, du plus simple au plus complet. Chaque niveau supérieur englobe et raffine le précédent.

Le niveau 1 est de loin le plus courant : après un choc, un changement de moteur ou une perte de référence codeur, on « remaître » le robot en amenant chaque axe sur un repère mécanique et en ré-inscrivant l'offset de zéro. C'est indispensable mais insuffisant pour l'exactitude absolue, car il ne corrige pas la géométrie des segments.

Le niveau 2 est le cœur du présent chapitre : il identifie l'ensemble de la table DH réelle (ou MDH / Hayati, cf. chapitre 4). Bien mené, il ramène l'exactitude au niveau de la répétabilité. Le niveau 3 va plus loin en modélisant les déformations dépendant de la charge et de la configuration — utile pour les très hautes exigences (mesure, usinage robotisé), mais avec un modèle nettement plus lourd à identifier et à embarquer.

3. Modèle d'erreur et identification

3.1 Linéarisation : le jacobien d'identification

Notons φ le vecteur de tous les paramètres géométriques (les a, α, d, θ de chaque liaison, empilés). La cinématique directe donne la pose de l'effecteur p = FK(q, φ) pour une configuration articulaire q. Le robot réel a des paramètres φ = φ_nom + δφ légèrement décalés du nominal. Au premier ordre, l'erreur de pose s'écrit comme une combinaison linéaire des erreurs de paramètres :

La matrice J_id est le jacobien d'identification : sa colonne k est la sensibilité de la pose au paramètre φ_k. À ne pas confondre avec le Jacobien géométrique du chapitre 6 (qui dérive par rapport aux variables articulaires q) : ici on dérive par rapport aux paramètres du modèle φ. En pratique, on obtient chaque colonne très commodément par différences finies sur la FK (exercice 1).

3.2 Empiler les mesures et résoudre au sens des moindres carrés

On place le robot dans N configurations q⁽¹⁾, …, q^(N) et on mesure la pose réelle (ou au moins la position) de l'effecteur avec une métrologie externe (section 5). Pour chaque configuration on forme le résidu entre pose mesurée et pose prédite : δp⁽ⁱ⁾ = p_mesurée⁽ⁱ⁾ − FK(q⁽ⁱ⁾, φ). En empilant les N équations δp⁽ⁱ⁾ ≈ J_id(q⁽ⁱ⁾) · δφ, on obtient un grand système linéaire (fortement surdéterminé : bien plus d'équations que de paramètres). On le résout au sens des moindres carrés — les fameuses équations normales :

où J_id et δp sont empilés sur toutes les mesures. Comme le modèle n'est linéaire qu'au premier ordre, on itère : on met à jour φ ← φ + δφ, on recalcule les résidus et le jacobien, et on recommence jusqu'à ce que ‖δp‖ cesse de décroître (Σ des carrés des résidus stabilisée). En pratique on préfère Levenberg-Marquardt, qui interpole entre la descente de gradient (robuste, loin de la solution) et Gauss-Newton (rapide, près de la solution) via un terme d'amortissement λ :

Levenberg-Marquardt est plus robuste : il converge même quand les équations normales sont mal conditionnées (le terme λ régularise), ce qui arrive fréquemment en calibration à cause des paramètres peu observables (section 4).

4. Identifiabilité des paramètres

Toute la difficulté théorique de la calibration cinématique tient en un mot : identifiabilité. Certains paramètres sont redondants ou non observables — les mesures ne contiennent tout simplement pas l'information pour les distinguer. Le cas d'école est le couplage d / θ sur axes parallèles : quand deux axes consécutifs sont (presque) parallèles, la convention DH classique devient discontinue — une petite variation réelle produit un saut du paramètre d vers l'infini. C'est précisément pour cela qu'on introduit la convention de Hayati (le paramètre β, cf. chapitre 4) pour ces liaisons : elle rend le modèle continu et identifiable.

Un bon modèle d'identification doit être :

• complet : capable de représenter toute erreur géométrique possible ;
• minimal : pas de paramètre redondant (sinon J_id^TJ_id est singulière) ;
• continu : pas de saut du modèle pour une variation infime du robot (d'où Hayati sur les axes parallèles).

Le conditionnement de la matrice d'identification renseigne sur l'observabilité : un jacobien mal conditionné (grande valeur de cond(J_id), c.-à-d. rapport valeur singulière max / min très élevé) signale des paramètres mal observés — leur estimation sera bruitée ou instable. On choisit alors les configurations de mesure pour améliorer l'observabilité : c'est l'optimisation d'observabilité. On la quantifie par des indices O1–O5 construits sur les valeurs singulières σ_i de J_id (produit, minimum, minimum/maximum, etc.) et on sélectionne le jeu de poses qui les maximise. Intuitivement : des poses bien réparties dans tout l'espace de travail, sollicitant chaque axe sur une large plage, valent beaucoup mieux qu'une grappe de poses voisines.

5. Les méthodes de mesure

Identifier δφ suppose de comparer la pose prédite à une pose réelle — donc de mesurer quelque chose sur le robot physique. Les méthodes se classent selon ce qu'elles mesurent et avec quel équipement. C'est le choix le plus structurant d'un projet de calibration : il conditionne le coût, la précision et la faisabilité sur site.

5.1 Open-loop — métrologie externe de la pose

On mesure directement la pose (ou au moins la position) de l'effecteur dans un repère externe, avec un instrument de métrologie : laser tracker (le plus répandu, très précis), bras de mesure / CMM, photogrammétrie / vision stéréo, théodolites, capteurs laser. On dispose alors de la mesure complète et on identifie tout le modèle.

• Avantages : mesure directe et précise de la pose absolue ; identifie l'ensemble des paramètres ; grande précision (laser tracker : quelques µm à quelques dizaines de µm).
• Inconvénients : équipement cher (un laser tracker coûte le prix d'un robot) ; mise en œuvre lourde (installation, repère, ligne de visée dégagée) ; généralement hors production.

5.2 Closed-loop — auto-calibration basée contraintes

Plutôt que de mesurer une pose absolue, on impose au robot des contraintes physiques connues et on exploite le fait qu'elles doivent être satisfaites : pointer la TCP sur un point fixe depuis plusieurs orientations, la contraindre sur un plan, maintenir une distance fixe (barre étalon ball-bar ou double-ball-bar télescopique), ou utiliser des capteurs redondants embarqués. Les résidus sur la contrainte (le point n'est pas exactement fixe selon le modèle) nourrissent l'identification.

• Avantages : peu ou pas de métrologie externe ; faible coût ; réalisable en atelier / sur site, voire en production ponctuelle.
• Inconvénients : moins de paramètres observables (une contrainte de point ne fixe pas l'orientation, une contrainte de plan encore moins) ; procédure parfois délicate ; précision généralement moindre que l'open-loop.

5.3 Screw axis measurement — analyse cercle-point

On bouge un seul axe à la fois. Un point de l'effecteur décrit alors un cercle dans l'espace. En ajustant (fit) ce cercle (et son plan), on identifie directement la position et la direction de l'axe articulaire correspondant — c'est-à-dire sa vis (screw axis). En répétant pour chaque axe, on reconstruit géométriquement toute la chaîne.

• Avantages : intuitif et robuste ; identifie géométriquement les axes réels ; interprétation physique claire.
• Inconvénients : nécessite de bouger axe par axe (procédure séquentielle) ; sensible au bruit quand les mouvements sont petits (le fit de cercle sur un arc court est mal conditionné).

5.4 Vision / méthodes autonomes et bas coût

Enfin, des méthodes vision (caméra embarquée observant une mire fixe, ou fixe observant une mire sur l'effecteur), la contrainte planaire, ou la self-calibration par caméra embarquée offrent un compromis bas coût et automatisable : pas d'instrument dédié coûteux, procédure programmable. La contrepartie est une précision variable, dépendante de la résolution caméra, de la calibration de la caméra elle-même et des conditions d'éclairage.

5.5 Tableau comparatif

6. Procédure type de bout en bout

Une campagne de calibration cinématique suit toujours la même trame ordonnée :

1. Choisir le modèle. Sélectionner la paramétrisation : MDH, Hayati pour les axes parallèles, ou POE (produit d'exponentielles). Objectif : complet, minimal, continu (section 4).
2. Choisir la métrologie. Selon budget et exigence : open-loop (laser tracker) pour la précision maximale, closed-loop pour un coût minimal sur site (section 5).
3. Collecter N poses bien distribuées. Générer des configurations qui maximisent l'observabilité (indices O1–O5), réparties dans tout l'espace de travail. Positionner le robot, laisser stabiliser, mesurer, horodater.
4. Identifier par LS / Levenberg-Marquardt. Empiler résidus et jacobien d'identification, résoudre, itérer jusqu'à convergence (section 3).
5. Valider sur un jeu indépendant. Réserver un ensemble de poses non utilisées pour l'identification et y mesurer l'erreur résiduelle. C'est le seul juge honnête de la qualité : cela détecte le sur-apprentissage (exercice 3).
6. Mettre à jour le modèle du contrôleur. Inscrire les paramètres corrigés dans le robot / l'automate, en mémoire persistante, pour que la FK (et l'IK) les utilisent (section 7).

7. Mise en œuvre sur automate

Le partage des rôles entre le PC/outil d'identification et l'automate est le point de conception clé de ce chapitre.

Concrètement, on stocke les corrections dans une structure persistante, une par liaison, puis on les ajoute à la table DH nominale juste avant d'appeler la FK. La géométrie nominale reste intacte (traçabilité), la correction est isolée et rechargeable comme une recette.

// ---- Correction géométrique calibrée, par liaison ----
// Δa, Δα, Δd, Δθ sont les écarts identifiés hors ligne
// (paramètres RÉELS − paramètres NOMINAUX). Voir chapitre 4 (MDH/Hayati).
TYPE T_CALIB_LINK :
STRUCT
    d_theta : LREAL;   // rad — offset de zéro (niveau 1) + correction géométrique
    d_d     : LREAL;   // m
    d_a     : LREAL;   // m
    d_alpha : LREAL;   // rad
END_STRUCT
END_TYPE

// Table de correction complète d'un bras 6 axes, en mémoire persistante.
TYPE T_CALIB : ARRAY[0..5] OF T_CALIB_LINK; END_TYPE

// Déclaration côté programme : RETAIN => survit à l'arrêt/redémarrage.
// On la charge une fois (recette) après identification hors ligne.
VAR RETAIN
    gCalib : T_CALIB;    // corrections calibrées, chargées après identification
END_VAR

La fonction ci-dessous fabrique la table DH corrigée à partir de la table nominale et des corrections calibrées. On l'appelle une fois (les corrections sont constantes), et le résultat alimente FB_ForwardKinematics (chapitre 5) à chaque cycle.

// Applique la correction calibrée à la table DH nominale.
// dhNom  : table du constructeur (nominale, inchangée).
// calib  : corrections identifiées hors ligne (gCalib).
// dhCal  : table corrigée, à passer ensuite à la FK.
FUNCTION ApplyCalibration : BOOL
VAR_IN_OUT
    dhNom : ARRAY[0..5] OF T_DH;    // nominale (lecture)
    calib : T_CALIB;               // corrections (lecture)
    dhCal : ARRAY[0..5] OF T_DH;   // corrigée (écriture)
END_VAR
VAR
    i : INT;
END_VAR
    FOR i := 0 TO 5 DO
        // On recopie la liaison nominale puis on ajoute la correction.
        dhCal[i].isPrismatic := dhNom[i].isPrismatic;
        dhCal[i].theta := dhNom[i].theta + calib[i].d_theta;   // rad
        dhCal[i].d     := dhNom[i].d     + calib[i].d_d;        // m
        dhCal[i].a     := dhNom[i].a     + calib[i].d_a;        // m
        dhCal[i].alpha := dhNom[i].alpha + calib[i].d_alpha;    // rad
    END_FOR
    ApplyCalibration := TRUE;
END_FUNCTION

Le flux global tient en une phrase : hors ligne on identifie δφ et on l'inscrit dans gCalib ; en ligne, ApplyCalibration produit dhCal, et la FK tourne sur dhCal — exacte, en quelques microsecondes, dans le cycle.

8. Les pièges de la calibration

Exercices

// Colonne de J_id pour le paramètre a de la liaison k : sensibilité de
// la position (x,y,z) de l'effecteur, par différence finie avant.
FUNCTION IdColumn_a : BOOL
VAR_IN_OUT
    robot : T_ROBOT6;    // table DH + q (lecture)
    k     : INT;         // indice de liaison
    col   : T_VEC3;      // résultat : d(pos)/d(a_k)  (écriture)
END_VAR
VAR
    fk        : FB_ForwardKinematics;
    p0, p1    : T_POSE;
    aSave     : LREAL;
    delta     : LREAL := 1.0E-6;   // m — petit pas
    robotPert : T_ROBOT6;          // copie perturbée
    i         : INT;
END_VAR
    // 1) Pose nominale.
    fk(robot := robot, pose => p0);

    // 2) Copie du robot, puis perturbation du seul paramètre a_k.
    robotPert := robot;                 // copie de la structure entière
    aSave := robotPert.dh[k].a;
    robotPert.dh[k].a := aSave + delta;

    // 3) Pose perturbée.
    fk(robot := robotPert, pose => p1);

    // 4) Différence finie composante par composante.
    col[0] := (p1.x - p0.x) / delta;
    col[1] := (p1.y - p0.y) / delta;
    col[2] := (p1.z - p0.z) / delta;

    IdColumn_a := TRUE;
END_FUNCTION

PROGRAM P_ChargeCalib
VAR
    robot  : T_ROBOT6;                 // contient dh nominale + q
    dhCal  : ARRAY[0..5] OF T_DH;      // table corrigée pour la FK
    fk     : FB_ForwardKinematics;
    pose   : T_POSE;
END_VAR

// --- 1) Charger les corrections identifiées (une seule fois, ex. recette) ---
// ATTENTION unités : mètres et radians, pas de mm ni de degrés.
gCalib[2].d_a     := 0.15 / 1000.0;    // 0,15 mm -> 0,00015 m
gCalib[2].d_theta := -0.002;           // rad
// (les autres liaisons restent à 0 si non calibrées)

// --- 2) Fabriquer la table corrigée à partir de la nominale ---
ApplyCalibration(dhNom := robot.dh, calib := gCalib, dhCal := dhCal);

// --- 3) FK sur la table CORRIGEE ---
// On substitue dhCal à la table nominale du robot avant l'appel.
robot.dh := dhCal;
fk(robot := robot, pose => pose);
// 'pose' est maintenant l'estimation EXACTE (modèle calibré).

Récapitulatif